Cálculo de la distancia a un cometa mediante la técnica del paralaje diurno
Introducción
Uno de los cálculos que están al alcance del aficcionado es la utilización del paralaje diurno para el cálculo de la distancia de un cometa o asteroide. El paralaje diurno aprovecha el hecho de que las coordenadas de un astro varían dependiendo desde qué punto de la superficie terrestre se hagan las medidas. El observador con su telescopio se está desplazando a lo largo de la noche y esta diferencia es apreciable para astros no muy lejanos.
En este caso, para el proyecto de paralaje diurno he escogido un cometa con una trajectoria muy próxima a la Tierra, del entorno de 0.36UA en la fecha de las mediciones el 20/5/2016.
Metodología
La metodología está inspirada en el libro "Astronomical Discoveries you can make, too!. Replicating the Work of the Great Observers" de Robert K. Buchheim, Project 25, aunque se han introducido algunas variaciones.
La idea es medir las coordenadas RA y DEC del astro durante 2 días (en el libro se explica con 3 días, pero al menos para un astro cercano con 2 días funciona perfectamente) en intervalos pequeños.
El paralaje se mide como la diferencia angular entre la RA geocéntrica y topocéntrica. Las RA que podemos medir con el CCD son las topocéntricas, ya que medimos desde la superficie de la Tierra. Sin embargo, es posible calcular para todas las fotos las coordenadas geocéntricas mediante un truco que se basa en que las coordenadas RA y DEC geocéntricas y topocéntricas coinciden en el tránsito por el meridiano:
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Se calculan los valores exactos de hora, RA y DEC del tránsito por el meridiano del astro en ambas noches. Así obtenemos al menos 2 valores de ra y dec geocéntricos.
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Se calcula la velocidad de cambio de RA y DEC geocéntrica dividiendo la diferencia de los valores obtenidos entre el tiempo transcurrido entre los tránsitos. Para el cálculo del tránsito se tiene en cuenta que éste se produce cuando la RA coindice con el tiempo sidereo, por lo que la forma de hacer el cáculo es hayar la intersección de la recta que mejor aproxima los valores medidos de RA con la recta del tiempo sidereo. Para el momento obtenido en el que se produce la intersección, se hace el cálculo de la transición para DEC.
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Se estima que la RA y DEC geocéntrica de por ejemplo la primera noche es el valor en el tránsito más la velocidad de cambio por el tiempo.
Una vez que tenemos RA y DEC tanto topocéntricas (los valores medidos) como geocéntricas (los valores calculados) se hace la diferencia y obtenemos el paralaje. Dado que el paralaje responde a una fórmula teórica que depende de la distancia de la Tierra al astro, se realizan iteraciones con valores diferentes de la distancia hasta obtener la mejor aproximación (menor error cuadrático medio).
Este procedimiento puede parecer un poco complicado, pero se entiende mejor con las gráficas y explicaciones que se muestran más adelante.
Herramientas
Captura de las fotos: telescopio C11 con reductor/correcto f6.3 sobre montura EQ8, guiado Off Axis con Lodestar X2, cámara ST8xME, sin filtro. Software utilizado: Maxim DL.
Automatización: las fotos se tomaron de forma continua durante 2 noches con capturas de 5 minutos cada una. La automatización del proceso de captura se realizó con ACP DC3 que además resuelve astrométricamente cada imagen.
Cálculos astrométricos: una vez referenciadas astrométricamente las fotos durante el proceso de captura, es necesario extraer para cada foto la hora, ascensión recta y declinación del cometa/asteroide. El proceso es un poco tedioso, y consiste en abrir cada foto con Maxim DL, y utilizar las siguientes ventanas:
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"FITS header" para extraer con segundos de precisión la hora de comienzo de la foto
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"Toogle Information" para, seleccionado "Mode Astrometric", situarse manualmente sobre el cometa/asteroide y anotar la RA y DEC del centroide.
Estos datos se anotan en una hoja de cálculo con las columnas: número de foto, fecha, hora, RA y DEC. Es importante resaltar que para la hora, RA y DEC hay que anotar los datos con precisión de segundos.
Cálculos de paralaje: para el cálculo del paralaje y en consecuencia la distancia, puede utilizarse directamente la hoja de cálculo pero en mi caso he preferido exportar los datos astrométricos a 2 ficheros con formato CSV, uno para cada día, y hacer un sencillo programa en C que realice los cáculos y la representación gráfica, para lo que se utilizó la herramienta GNUPLOT bajo Cygwin.
Fórmulas utilizadas
Se utilizan las siguientes formulas:
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Velocidad de cambio de RA geocéntrica:
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v_ra = (ra_tránsito_dia2 - ra_tránsito_dia1) / (hora_tránsito_dia2 - hora_tránsito_dia1)
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Velocidad de cambio de DEC geocéntrica:
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v_dec = (dec_tránsito_dia2 - dec_tránsito_dia1) / (hora_tránsito_dia2 - hora_tránsito_dia1)
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RA geocéntrica: (durante el dia1)
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ra_geocéntrica = ra_tránsito_dia1 + t * v_ra
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DEC geocéntrica: (durante el dia1)
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dec_geocéntrica = dec_tránsito_dia1 + t * v_dec
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Ángulo de paralaje: (durante día 1)
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ángulo en horas = (ra_topocéntrica - ra_geocéntrica) * cos (dec_geocéntrica)
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Ángulo de paralaje teórico:
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ángulo en radianes = (radio_tierra * cos (latitud) / distancia _astro) * sin ( 15.04 * t)
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Cometa 252P/Linear
La elección del cometa 252P/Linear está basada en su proximidad a la Tierra, unos 0.36UA, y en su visibilidad en esta época durante una parte importante de la noche con magnitud entorno a 9. En la foto que se muestra a continuación, el cometa aparece muy tenue en el centro de la imangen.
Datos de RA y DEC obtenidos
El dia 1 (20/5/2016) se tomaron unas 60 fotos de 5 minutos de duración, sin filtro. Para cada foto, una vez resuelta astrométricamente, se obtuvo con Maxim DL la posicón en RA y DEC del centroide de la cabeza del cometa, y en las gráficas siguinetes se muestran los resultados obtenidos:
En ambas gráficas las abcisas son las horas relativas a la hora de la primera foto. Se observa un hueco debido giro del telescopio al paso por el meridiano que al ser con muntura ecuatorial, tengo configurado no hacer fotos algunos minutos antes y después para evitar colisionar la cámara con el soporte de la montura.
Precisamente en esos huecos de medidas es donde se encuentra el transito del cometa, pero no es problema ya que la técnica de cálculo del tránsito de basa en utilizar la recta que mejor se ajusta a las medidas. De hecho se observan algunos errores en las medidas que no van a tener efecto gracias a esta técnica.
En ambas gráficas se representa la recta que mejor encaja con las medidas (en rojo) así como:
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En el caso de la gráfica de RA, se representa también la recta que de los valores de tiempo sidereo local. Cuando ambas rectas se cruzan, la ascensión recta coincide con el tiempo sidereo local, y esto ocurre precisamente en el tránsito por el meridiano. El valor obtenido es RA=16.949186 (16:56:57) .
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En el caso de la gráfica de DEC, se calcula el valor de la recta a la hora calculada previamente para la transición por el meridiano. El valor obtenido es DEC=:8.525301 (8:31:31).
Se repiten los datos para el dia 2:
Los datos obtenidos para el dia 2 son:
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Tránsito por el meridiano RA=16.931770 (16:55:54) = RA geocéntrica en el momento del tránsito
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Tránsito por el meridiano DEC=:8.420037 (8:25:12) = DEC geocéntrica en el momento del tránsito
Resultados
A partir de los datos del dia1 y dia2 se calculan las velocidades de cambio de la RA y DEC geocéntrica dividiendo la diferencia de RA y DEC respectivamente entre el tiempo transcurrido entre los dos tránsitos, obteniendo:
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Velocidad de cambio de la RA geocéntrica = -0.000726 hour/hour
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Velocidad de cambio de la DEC geocéntrica = -0.004389 grados/hour
Con estos datos podemos calcular la RA y DEC geocéntrica a lo largo del primer día. El ángulo de paralaje es la diferencia de la RA geocéntrica (calculada a partir de la RA geocéntrica en el momento del tránsito por el meridiano más el producto del tiempo por la velocidad de cambio calculada) menos la RA topocéntrica (medida con las fotos CCD) y esta diferencia hay que multiplicala por el coseno de la DEC geocéntrica.
En la siguiente gráfica se muestan mediante puntos los datos obtenidos de paralaje:
Las abcisas representan las horas respecto a la hora del tránsito. Las ordenadas representan el paralaje en arcos de segundo.
Los puntos se corresponden con una senoide y la forma de calcular la distancia del cometa a la Tierra es deducir la amplitud de la senoide que hace que la curva calculada corresponda con la curva teórica. En el apartado anterior de fórmulas se indica en qué forma concreta la amplitud depende de la distancia al cometa.
Se ha realizado una iteración variando la distancia en cada paso en 250.000km y se ha obtenido que valor más ajustado (menor error cuadrático medio) entre los datos medidos y la curva teórica se encuentra para una distancia de 54.250.000 km, equivalente a 0.362UA.
En la gráfica se han representado tres curvas teóricas: para 44.000.000 km, 64.000.000 km y 54.250.000 km.
Dado que el ajuste es máximo deducimos como dato obtenido 54.250.000 km